1.1 常数与幂函数#

1. 常数函数
   $C' = 0 \quad (C为常数)$

2. 幂函数
   $(x^n)' = n x^{n-1} \quad (n \in \mathbb{R})$

1.2 指数函数#

1. 自然指数函数
   $(e^x)' = e^x$

2. 一般指数函数
   $(a^x)' = a^x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1)$

1.3 对数函数#

1. 自然对数函数
   $(\ln x)' = \frac{1}{x} \quad (x > 0)$

2. 一般对数函数
   $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0, a \neq 1, x > 0)$

1.4 三角函数#

1. 正弦函数
   $(\sin x)' = \cos x$

2. 余弦函数
   $(\cos x)' = -\sin x$

3. 正切函数
   $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

2.1 线性运算法则#

1. 和差法则
   $[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$

2. 常数倍法则
   $[k \cdot f(x)]' = k \cdot f'(x) \quad (k为常数)$

2.2 乘积法则#

1. 一般乘积法则
   $[f(x) \cdot g(x)]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

2. 常数倍乘积法则
   $[k \cdot g(x)]' = k \cdot g'(x) \quad (k为常数)$

2.3 商法则#

$\left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \quad (g(x) \neq 0)$

记忆口诀：“上导下不导减去下导上不导，除以分母的平方”

3.1 切线的定义#

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x = a$ 处可导，则函数在点 $P(a, b)$ 处的切线斜率即为该点的导数值： $k = f'(a)$

3.2 切线方程的求法#

已知：

• 切点坐标：$P(a, b)$
• 切线斜率：$k = f'(a)$
• 切点满足：$b = f(a)$

则切线方程为： $y - b = f'(a)(x - a)$

或写为： $y - f(a) = f'(a)(x - a)$

3.3 切线方程的一般形式#

整理后可得切线方程的一般形式： $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

示例1：求幂函数的导数#

求 $f(x) = x^3$ 的导数： $f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$

示例2：求指数函数的导数#

求 $f(x) = 2^x$ 的导数： $f'(x) = 2^x \ln 2$

示例3：求对数函数的导数#

求 $f(x) = \log_3 x$ 的导数： $f'(x) = \frac{1}{x \ln 3}$

示例4：求函数的切线方程#

求函数 $f(x) = x^2$ 在点 $x = 1$ 处的切线方程：

1. 计算切点坐标：$f(1) = 1^2 = 1$，切点为 $P(1, 1)$
2. 求导数：$f'(x) = 2x$
3. 计算切线斜率：$k = f'(1) = 2 \times 1 = 2$
4. 写出切线方程：$y - 1 = 2(x - 1)$
5. 整理得：$y = 2x - 1$

7.1 反三角函数导数#

1. $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
2. $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
3. $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

7.2 复合函数求导法则（链式法则）#

若 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

或写作： $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

导管函数

对数定义#

对数 $\log_a m$ 表示以 $a$ 为底 $m$ 的对数，满足： $\log_a m = n \iff a^n = m$

由此可得恒等式： $a^{\log_a m} = m$

对数基本性质#

1. 底数的对数
   $\log_a a = 1$

2. 1的对数
   $\log_a 1 = 0$

3. 自然对数的底
   $\ln e = \log_e e = 1$

对数的运算性质#

1. 对数加法（积的对数）
   $\log_a m + \log_a n = \log_a (m \cdot n)$

2. 对数减法（商的对数）
   $\log_a m - \log_a n = \log_a \frac{m}{n}$

3. 幂的对数
   $\log_a (m^n) = n \log_a m$

换底公式#

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\lg b}{\lg a}$

特别地： $\log_a b \cdot \log_b a = 1$

注意：

• $\ln$ 表示自然对数（以 $e$ 为底）
• $\lg$ 表示常用对数（以 $10$ 为底）
• 所有公式中，$a > 0, a \neq 1, m > 0, n > 0$

我讨厌指对运算

1.1 奇偶性的定义#

1.2 奇函数的特殊性质#

1.3 奇偶性的重要恒等式#

1. 奇函数的恒等式
   $f(x) + f(-x) = 0$

2. 偶函数的恒等式
   $f(x) - f(-x) = 0$

1.4 奇偶性的运算规律（二级结论）#

2.1 处理方法#

2.2 重要注意事项#

※ 不要遗漏定义域

1. 必须先确定复合函数的定义域
2. 如果内层函数在不同区间单调性不同，需要分段讨论
3. 确保外层函数定义域包含内层函数的值域

3.1 常见周期公式#

1. 基本周期公式
   若 $f(x + a) = f(x)$，则 $f(x)$ 是周期函数，周期 $T = a$

2. 负相关周期公式
   若 $f(x + a) = -f(x)$，则 $f(x)$ 是周期函数，周期 $T = 2a$

3. 倒数相关周期公式
   若 $f(x + a) = \frac{k}{f(x)}$（$k \neq 0$），则 $f(x)$ 是周期函数，周期 $T = 2a$

3.2 周期性的性质#

1. 最小正周期：若存在最小的正数 $T$ 满足周期条件，则称 $T$ 为最小正周期
2. 周期函数的和、差、积、商（分母不为零）通常也是周期函数

4.1 平移变换#

口诀：左加右减，上加下减

设原函数为 $y = f(x)$：

4.2 对称变换#

4.3 翻折变换#

解题注意事项#

1. 定义域优先原则：所有分析都要在函数的定义域内进行
2. 变换顺序：多个变换组合时，顺序不同结果不同
   • 建议顺序：翻折 → 平移 → 对称
3. 验证检查：完成变换后，可以选取特殊点验证结果的正确性

2.1 通项公式#

1. 基本通项公式
   $a_n = a_1 + (n-1)d$ 其中：

   • $a_n$：第 $n$ 项
   • $a_1$：首项
   • $d$：公差
   • $n$：项数

2. 任意两项关系公式
   $a_n = a_m + (n-m)d$ 说明：已知任意一项 $a_m$ 和公差 $d$，可以直接求任意项 $a_n$，无需从 $a_1$ 开始计算。

2.2 公差公式#

$d = \frac{a_n - a_m}{n-m}$ 说明：已知任意两项 $a_m$ 和 $a_n$ 及其位置 $m$ 和 $n$，可求公差 $d$。

2.3 项数公式#

$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$ 说明：已知首项 $a_1$、末项 $a_n$ 和公差 $d$，可求项数 $n$。

3.1 基本求和公式#

1. 首项末项公式
   $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ 适用条件：已知首项 $a_1$、末项 $a_n$ 和项数 $n$。

2. 首项公差公式
   $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$ 适用条件：已知首项 $a_1$、公差 $d$ 和项数 $n$。

3.2 “神奇小公式”#

$S_n = n \cdot \frac{n+1}{2}$
说明：这是当 $a_1 = 1$，$d = 1$ 时的特殊等差数列（自然数列）的求和公式。
验证：$1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$

4.1 等差中项定义#

如果 $a, A, b$ 成等差数列，那么 $A$ 叫做 $a$ 与 $b$ 的等差中项，且： $A = \frac{a+b}{2}$

4.2 广义等差中项性质#

对于等差数列 $\{a_n\}$，有： $a_m + a_n + a_p + a_q + \cdots = k \cdot a_{\frac{m+n+p+q+\cdots}{k}}$ 其中 $k$ 为项数。

解释：等差数列中若干项的和等于这些项的下标和的平均数对应的项乘以项数。

4.3 重要性质#

1. 下标和性质：若 $m+n = p+q$，则 $a_m + a_n = a_p + a_q$
2. 平均数性质：等差数列中任意连续奇数项的平均数等于中间项

5.1 计算技巧#

1. 灵活选择公式：

   • 已知首项、末项、项数 → 使用 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
   • 已知首项、公差、项数 → 使用 $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$

2. 大题中避免小数下标：

   • 大题的解题过程中,等差中项的下标应是整数或分数，但不能是小数
   • 在草稿本上用用算了
   • 如果计算结果出现小数下标，应表示为相邻两项的平均值
   • 示例：$a_{\frac{3}{2}} = \frac{a_1 + a_2}{2}$

5.2 解题步骤建议#

1. 识别数列类型：判断是否为等差数列
2. 提取已知条件：找出 $a_1$, $d$, $n$, $a_n$, $S_n$ 等已知量
3. 选择合适公式：根据已知条件选择最简便的公式
4. 代入计算求解：注意计算准确性

例1：求通项#

已知等差数列 $a_3 = 8$, $a_7 = 20$，求 $a_{10}$

解：

1. 使用公式 $d = \frac{a_n - a_m}{n-m}$ $d = \frac{a_7 - a_3}{7-3} = \frac{20-8}{4} = 3$
2. 使用公式 $a_n = a_m + (n-m)d$ $a_{10} = a_7 + (10-7) \times 3 = 20 + 3 \times 3 = 29$

例2：求和#

已知等差数列 $a_1 = 2$, $d = 3$，求前10项和

解： 使用公式 $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$ $S_{10} = 10 \times 2 + \frac{10 \times 9}{2} \times 3 = 20 + 45 \times 3 = 20 + 135 = 155$

例3：等差中项应用#

已知等差数列中 $a_2 + a_4 + a_6 = 30$，求 $a_4$

解： 根据等差中项性质： $a_2 + a_4 + a_6 = 3a_4 = 30$ $a_4 = 10$